ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
В.А. Балаш,
О.С. Кузнецова,
С.Н. Купцов
2008
Глава 1
МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ
ВЕЛИЧИН
1.1 Общее представление о методе Монте-Карло
Метод Монте-Карло — это численный метод решения математических задач при
помощи моделирования случайных величин. Создателями этого метода считают ан-
глийских математиков Дж. Неймана и С. Улама, которые анонсировали данный ме-
тод в статье The Monte Carlo method, J. Amer. statistical assoc., 1949. Название метода
происходит от города в княжестве Монако, знаменитого своим игорным домом, так
как одним из простейших механических приборов для получения случайных величин
является рулетка.
До появления ЭВМ этот метод не мог найти широкого применения в силу трудо-
емкости моделирования случайных величин вручную. Возникновение метода Монте-
Карло как универсального численного метода стало возможным благодаря появле-
нию ЭВМ.
Пример. Пусть нужно вычислить площадь плоской произвольной фигуры с
границей, заданной графически или аналитически, или состоящей из нескольких
кусков. Пусть фигура расположена внутри квадрата единичной площади.
Выберем в единичном квадрате квадрате случайных точек "равномерно раз-
бросанных" по всему квадрату. Обозначим через ′ число точек, попавших внутрь
фигуры приближенно равна отношению ′/. Чем больше , тем точнее будет
вычислена площадь .
Для использования метода Монте-Карло составляется программа для осуществ-
ления одного случайного испытания, затем испытание повторяется требуемое коли-
чество раз, причем каждый опыт не зависит от остальных, а результаты всех опытов
осредняются. Поэтому метод Монте-Карло называют методом статистических ис-
пытаний.
Ошибка вычисления при использовании этого метода пропорциональна числу
1
√︀/, где — некоторая постоянная и — число испытаний. Поэтому для умень-
шения ошибки в 10 раз, то есть чтобы получить в результате еще один верный деся-
тичный знак, нужно увеличить число испытаний в 100 раз.
Общая схема метода Монте-Карло
Пусть требуется вычислить некоторую неизвестную величину . Попытаемся
придумать такую случайную величину , чтобы () = . Пусть = 2.
Рассмотрим случайных величин 2, . . ., , распределения которых совпадают
с распределением . При достаточно большом в силу Центральной Предельной
Теоремы (1) распределение суммы = 1 + 2 + . . . + будет приблизительно
нормальным с параметрами = , 2 = 2.
Применим правило трех сигм:
(︂
3
3 )︂
− √
< < + √
≈ 0, 997
или
(︃⃒
⃒)︃
⃒ 1 ∑︁
⃒
3
⃒
⃒
−
< √
≈ 0, 997.
⃒
⃒
⃒
=1
⃒
Получено важное для метода Монте-Карло соотношение, дающее метод расчета
и оценку погрешности. В самом деле, найдем значений случайной величины .
Среднее арифметическое этих значений будет приближенно равно . С большой
√
вероятностью ошибка такого приближения не превосходит величины 3/ , и эта
ошибка стремится к нулю при росте .
1.2 Случайные величины
Метод вычисления площади, сформулированный в предыдущем пункте, справед-
лив только тогда, когда случайные точки не просто случайны, но и равномерно раз-
бросаны по всему квадрату. Чтобы придать этим словам точный смысл, познакомим-
ся с определением случайных величин и некоторыми их свойствами.
Для задания случайной величины надо указать, какие значения она может при-
нимать и каковы вероятности этих значений.
1.2.1 Дискретные, неперывные и нормальные случайные ве-
личины
Определение 1.2.1. Случайная величина называется дискретной, если она мо-
жет принимать дискретное множество значений (1, 2, . . . , ). Допускается и
бесконечное число значений (1, 2, . . . , , . . .).
2
Дискретная случайная величина определяется таблицей (распределением слу-
чайной величины ):
(︃
)︃
1 2 . . .
=
,
1 2 . . .
где (1, 2, . . . , ) — возможные значения величины ; (1, 2, . . . ) — соответству-
ющие им вероятности:
( = ) = .
Числа (1, 2, . . . , ) могут быть любыми, а вероятности (1, 2, . . . ) удовлетворяют
условиям
1. > 0,
2. 1 + 2 + . . . + = 1, то есть обязана в каждом случае принять одно из
значений (1, 2, . . . , ).
Определение 1.2.2. Математическим ожиданием случайной величины называет-
ся число
∑︁
=
.
=1
Если формулу для записать в виде
∑︀
∑︁
=
=1
=
,
∑︀
=1
=1
то виден смысл математического ожидания — это среднее значение величины , то
есть это осреднение с весами, равными вероятностям (1, 2, . . . ).
Свойства математического ожидания:
1. ( + ) = + ,
2. () = ,
3. ( + ) = + ,
где , — две любые случайные величины, а — не случайная величина.
Определение 1.2.3. Дисперсией случайной величины называется число
= [ − ]2.
Таким образом, дисперсия > 0 — это математическое ожидание квадрата
отклонения случайной величины от ее среднего значения .
Получим еще одну формулу для дисперсии:
= [2 − 2 · + ( )2] = (2) − 2 · + ( )2,
= (2) − ( )2.
Свойства дисперсии:
3
|
