О. С. Кузнецова




Скачать 282.77 Kb.
PDF просмотр
НазваниеО. С. Кузнецова
страница1/17
Дата конвертации26.03.2013
Размер282.77 Kb.
ТипДокументы
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17
ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
В.А. Балаш,
О.С. Кузнецова,
С.Н. Купцов
2008

Глава 1
МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ
ВЕЛИЧИН
1.1 Общее представление о методе Монте-Карло
Метод Монте-Карло — это численный метод решения математических задач при
помощи моделирования случайных величин. Создателями этого метода считают ан-
глийских математиков Дж. Неймана и С. Улама, которые анонсировали данный ме-
тод в статье The Monte Carlo method, J. Amer. statistical assoc., 1949. Название метода
происходит от города в княжестве Монако, знаменитого своим игорным домом, так
как одним из простейших механических приборов для получения случайных величин
является рулетка.
До появления ЭВМ этот метод не мог найти широкого применения в силу трудо-
емкости моделирования случайных величин вручную. Возникновение метода Монте-
Карло как универсального численного метода стало возможным благодаря появле-
нию ЭВМ.
Пример. Пусть нужно вычислить площадь плоской произвольной фигуры  с
границей, заданной графически или аналитически, или состоящей из нескольких
кусков. Пусть фигура  расположена внутри квадрата единичной площади.
Выберем в единичном квадрате квадрате  случайных точек "равномерно раз-
бросанных" по всему квадрату. Обозначим через ′ число точек, попавших внутрь
фигуры  приближенно равна отношению ′/. Чем больше , тем точнее будет
вычислена площадь .
Для использования метода Монте-Карло составляется программа для осуществ-
ления одного случайного испытания, затем испытание повторяется требуемое коли-
чество раз, причем каждый опыт не зависит от остальных, а результаты всех опытов
осредняются. Поэтому метод Монте-Карло называют методом статистических ис-
пытаний.
Ошибка вычисления при использовании этого метода пропорциональна числу
1

√︀/, где  — некоторая постоянная и  — число испытаний. Поэтому для умень-
шения ошибки в 10 раз, то есть чтобы получить в результате еще один верный деся-
тичный знак, нужно увеличить число испытаний в 100 раз.
Общая схема метода Монте-Карло
Пусть требуется вычислить некоторую неизвестную величину . Попытаемся
придумать такую случайную величину , чтобы () = . Пусть  = 2.
Рассмотрим  случайных величин 2, . . ., , распределения которых совпадают
с распределением . При достаточно большом  в силу Центральной Предельной
Теоремы (1) распределение суммы  = 1 + 2 + . . . +  будет приблизительно
нормальным с параметрами  = , 2 = 2.
Применим правило трех сигм:
(︂
3
3 )︂

  − √
<  <   + √
≈ 0, 997


или
(︃⃒

⃒)︃
⃒ 1 ∑︁

3




 − 
< √
≈ 0, 997.
⃒ 



=1

Получено важное для метода Монте-Карло соотношение, дающее метод расчета 
и оценку погрешности. В самом деле, найдем  значений случайной величины .
Среднее арифметическое этих значений будет приближенно равно . С большой

вероятностью ошибка такого приближения не превосходит величины 3/ , и эта
ошибка стремится к нулю при росте .
1.2 Случайные величины
Метод вычисления площади, сформулированный в предыдущем пункте, справед-
лив только тогда, когда случайные точки не просто случайны, но и равномерно раз-
бросаны по всему квадрату. Чтобы придать этим словам точный смысл, познакомим-
ся с определением случайных величин и некоторыми их свойствами.
Для задания случайной величины надо указать, какие значения она может при-
нимать и каковы вероятности этих значений.
1.2.1 Дискретные, неперывные и нормальные случайные ве-
личины
Определение 1.2.1. Случайная величина  называется дискретной, если она мо-
жет принимать дискретное множество значений (1, 2, . . . , ). Допускается и
бесконечное число значений (1, 2, . . . , , . . .).
2

Дискретная случайная величина  определяется таблицей (распределением слу-
чайной величины ):
(︃
)︃
1 2 . . . 
 =
,
1 2 . . . 
где (1, 2, . . . , ) — возможные значения величины ; (1, 2, . . . ) — соответству-
ющие им вероятности:
 ( = ) = .
Числа (1, 2, . . . , ) могут быть любыми, а вероятности (1, 2, . . . ) удовлетворяют
условиям
1.  > 0,
2. 1 + 2 + . . . +  = 1, то есть  обязана в каждом случае принять одно из
значений (1, 2, . . . , ).
Определение 1.2.2. Математическим ожиданием случайной величины  называет-
ся число

∑︁
  =
.
=1
Если формулу для  записать в виде

∑︀
∑︁

  =

=1
 =
,
∑︀

=1
=1
то виден смысл математического ожидания — это среднее значение величины , то
есть это осреднение  с весами, равными вероятностям (1, 2, . . . ).
Свойства математического ожидания:
1. ( + ) =  + ,
2. () = ,
3. ( + ) =  + ,
где ,  — две любые случайные величины, а  — не случайная величина.
Определение 1.2.3. Дисперсией случайной величины  называется число
 =  [ −  ]2.
Таким образом, дисперсия  > 0 — это математическое ожидание квадрата
отклонения случайной величины  от ее среднего значения .
Получим еще одну формулу для дисперсии:
 =  [2 − 2  ·  + ( )2] =  (2) − 2  ·   + ( )2,
 =  (2) − ( )2.
Свойства дисперсии:
3
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17

Похожие:

О. С. Кузнецова iconМетодический комментарий к урокам
Журова Л. Е., Евдокимова А. О.) части 1 и 2 и по рабочим тетрадям «Прописи» №1, 2, 3, (авторы: Безруких М. М., Кузнецова М. И.),...
О. С. Кузнецова iconКузнецова Вера. «Не уезжая на Чёрное море». Рассказ Кашицына Екатерина, Кузнецова Вера. Эссе «Почему я решил участвовать в конференции?»
Кашицына Екатерина, Кузнецова Вера. Эссе «Почему я решил участвовать в конференции?»
О. С. Кузнецова iconКузнецов В. Г., Кузнецова И. Д., Миронов В. В., Момджян К. Х. Философия: Учебник
Кузнецов В. Г., Кузнецова И. Д., Миронов В. В., Момджян К. Х. Философия: Учебник. М.: Инфра-м, 2004. 519 с
О. С. Кузнецова iconВ. В. Пугач (д т. н.), А. Г. Вихман (к т. н.), В. А. Заваров (к т. н.), Н. А. Хапонен, С. И. Зусмановская (к т. н.), В. И. Рачков (к т. н.), А. К. Кузнецова, Ю. С. Медведев (к т. н.), А. Л. Белинкий (к т. н.), А. Н. Бочаров (к т
В. А. Заваров (к т н.), Н. А. Хапонен, С. И. Зусмановская (к т н.), В. И. Рачков (к т н.), А. К. Кузнецова, Ю. С. Медведев (к т н.),...
О. С. Кузнецова iconПримерная финансовая смета на проведение капитального ремонта маоу «сош №1 с углублённым изучением биологии и русского языка имени Н. И. Кузнецова» г. Пестово
Пестово в рамках реализации направлений Национальной образовательной инициативы «Наша новая школа» по пункту 4 Приложения к Программе...
О. С. Кузнецова iconДорогие ребятишки Кузнецова Н. Г

О. С. Кузнецова icon                                            Кузнецова Н. В. 
Ох,  не  знала  я  тогда,  сколько  мне  с  ним  приключений  за  всю  его  долгую 
О. С. Кузнецова iconCommonwealth of Student and Youth Organizations 
Степаненко О. В., Кузнецова И. М., Туроверов К. К., Скогнамиглио В., Стаяно М., Д’Ауриа С.   42 
О. С. Кузнецова icon  Урало-алтайские  исследования 
Г. Ф. Благова, П. П. Дамбуева, А. И. Кузнецова, О. А. Мудрак, С. А. Мызников, И. Николаева (Великобритания),  
О. С. Кузнецова iconР. Ш. Кузнецова Редактор И. Г. Доминова
Он подготовлен кубанскими этнографами В. В. Бойцовым, И. В. Куз- нецовым, Р. Ш. Кузнецовой
Разместите кнопку на своём сайте:
kak.znate.ru


База данных защищена авторским правом ©kak.znate.ru 2012
обратиться к администрации
KakZnate
Главная страница