Пояснительная записка к курсовой работе на тему «Исследование математических методов построения изолиний»




Скачать 343.29 Kb.
НазваниеПояснительная записка к курсовой работе на тему «Исследование математических методов построения изолиний»
страница3/3
Пиявский С А
Дата конвертации12.09.2013
Размер343.29 Kb.
ТипПояснительная записка
1   2   3

Общая схема


Все методы спуска решения задачи безусловной минимизации различаются либо выбором направления спуска, либо способом движения вдоль направления спуска. Это позволяет написать общую схему методов спуска.

Решается задача минимизации функции (x) на всём пространстве En. Методы спуска состоят в следующей процедуре построения последовательности {xk}. В качестве начального приближения выбирается любая точка x0En. Последовательные приближения x1, x2, … строятся по следующей схеме:

  1. в точке xk выбирают направление спуска - Sk;

  2. находят (k+1)-е приближение по формуле xk+1=xk-hkSk.

Направление Sk выбирают таким образом, чтобы обеспечить неравенство f(xk+1)k) по крайней мере для малых значений величины hk. На вопрос, какому из способов выбора направления спуска следует отдать предпочтение при решении конкретной задачи, однозначного ответа нет.

Число hk определяет расстояние от точки xk до точки хk+1. Это число называется длиной шага или просто шагом. Основная задача при выборе величины hk - это обеспечить выполнение неравенства (xk+1)<(xk).

Величина шага сильно влияет на эффективность метода. Большей эффективностью обладает вариант метода, когда шаг по каждой переменной определяется направляющими косинусами градиента(в градиентных методах).

xk+1=xk-hk cos

где - cos=

В этом случаи величина рабочего шага не зависит от величины модуля градиента, и ею легче управлять изменением h . В районе оптимума может возникать значительное «рыскание», поэтому используют различные алгоритмы коррекции h.

Наибольшее распространение получили следующие алгоритмы:

1. (без коррекции);

2. если ; если

3. , если ; , если; ,если ,

где –угол между градиентами на предыдущем и текущем шаге;

и – заданные пороговые значения выбираются субъективно

(например, ).

Вдали от оптимума направление градиента меняется мало, поэтому шаг можно увеличить (второе выражение), вблизи от оптимума направление резко меняется (угол между градиентами R(x) большой), поэтому h сокращается (третье выражение).

Метод градиентного спуска. 

 Рассмотрим функцию f, считая для определенности, что она зависит от трех переменных x,y,z. Вычислим ее частные производные дf/дх, дf/ду, дf/дz и образуем с их помощью вектор, который называют градиентом функции:

grad f(x, у, z) = дf (х, у,z) /дх*i+дf( x, у, z)/ду*j+дf(x, y,z)/дг*k.

Здесь i, j, k - единичные векторы, параллельные координатным осям. Частные производные характеризуют изменение функции f по каждой независимой переменной в отдельности. Образованный с их помощью вектор градиента дает общее представление о поведении функции в окрестности точки (х, у,z). Направление этого вектора является направлением наиболее быстрого возрастания функции в данной точке. Противоположное ему направление, которое часто называют антиградиентным, представляет собой направление наиболее быстрого убывания функции. Модуль градиента
                         
grad (х, у,z)дf/дх (х, у,z))2 +(дf/ду( x, у, z))2+(дf/дг(x, y,z))2.

определяет скорость возрастания и убывания функции в направлении градиента и антиградиента. Для всех остальных направлений скорость изменения функции в точке (х, у, z) меньше модуля градиента. При переходе от одной точки к другой как направление градиента, так и его модуль, вообще говоря, меняются. Понятие градиента естественным образом переносится на функции любого числа переменных.

Перейдем к описанию метода градиентного спуска. Основная его идея состоит в том, чтобы двигаться к минимуму в направлении наиболее быстрого убывания функции, которое определяется антиградиентом. Эта идея реализуется следующим образом.

Выберем каким-либо способом начальную точку, вычислим в ней градиент рассматриваемой функции и сделаем небольшой шаг в обратном, антиградиентном направлении. В результате мы придем в точку, в которой значение функции будет меньше первоначального. В новой точке повторим процедуру: снова вычислим градиент функции и сделаем шаг в обратном направлении. Продолжая этот процесс, мы будем двигаться в сторону убывания функции. Специальный выбор направления движения на каждом шаге позволяет надеяться на то, что в данном случае приближение к наименьшему значению функции будет более быстрым, чем в методе покоординатного спуска.

Метод градиентного спуска требует вычисления градиента целевой функции на каждом шаге. Если она задана аналитически, то это, как правило, не проблема: для частных производных, определяющих градиент, можно получить явные формулы. В противном случае частные производные в нужных точках приходится вычислять приближенно.

Для оценки частных производных используются разностные методы:


f(x1, ...,xi+ gi, ..., xn) - f(x1, ..., xi, ..., xn)

                    gi
1.Алгоритм с центральной пробой



2. Алгоритм с парными пробами


f(x1, ...,xi+ gi, ..., xn) - f(x1, ..., xi- gi..., xn)

                   gi


где gi – пробный шаг по i-й переменной, выбираемый достаточно малым для разностной оценки производной.

Отметим, что при таких расчетах gi ,нельзя брать слишком малым, а значения функции нужно вычислять с достаточно высокой степенью точности, иначе при вычислении разности

f(x1, ...,xi+ gi, ..., xn) - f(x1, ..., xi, ..., xn)

f(x1, ...,xi+ gi, ..., xn) - f(x1, ..., xi- gi,..., xn)

будет допущена большая ошибка.

Первый алгоритм требует меньших затрат по сравнению со вторым (обычно затраты выражаются количеством вычислений критерия оптимальности), но позволяет получить решение менее точно, чем второй, эта погрешность зависит от величины пробного шага

 На рис. 5 изображены линии уровня функции двух переменных u=f(х,у), , и приведена траектория поиска ее минимума с помощью метода градиентного спуска.



Рис. 5. - Линии уровня функции двух переменных и траектория поиска ее минимума.

Список используемой литературы:

  1. Костюк Ю.Л., Фукс А.Л. Предварительная обработка исходных данных для построения цифровой модели рельефа местности. -Вестник ТГУ, 2003 №280 с.281-285.

  2. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение. Пер. с англ. – М.: Мир 1989. – 478с.

  3. Фукс А.Л. Разработка и исследование алгоритмов интерполяции однозначных поверхностей и их использование при построении цифровых моделей рельефа: Диссер. На соискание уч. степ. к.т.н. Томск, ТГУ, 2001
1   2   3

Похожие:

Пояснительная записка к курсовой работе на тему «Исследование математических методов построения изолиний» iconПояснительная записка к курсовой работе по дисциплине «технология научных исследований»
В этой ситуации защищенные и безотзывные электронные деньги являются панацеей от всех бед, как для продавцов, так и для простых пользователей...
Пояснительная записка к курсовой работе на тему «Исследование математических методов построения изолиний» iconПояснительная записка к учебно-исследовательской работе на тему: «Исследование подходов к созданию системы менеджмента контента ( cms ) на вэб страницах с последующим интегрированием ее с crm системой»
Основополагающий документ по развитию в РФ информационных и коммуникационных технологий (икт) [7] в качестве приоритетов и перспектив...
Пояснительная записка к курсовой работе на тему «Исследование математических методов построения изолиний» iconПояснительная записка к дипломному проекту На тему «Построение безопасной корпоративной сети»
Исследование возможных опасных и вредных факторов при эксплуатации ЭВМ и их влияние на пользователей 107
Пояснительная записка к курсовой работе на тему «Исследование математических методов построения изолиний» iconПояснительная записка к дипломному проекту На тему: «Разработка технического проекта учебно-производственной лаборатории» Студент: Гершман Илья Аркадьевич
Исследование возможных опасных и вредных факторов при эксплуатации ЭВМ и их влияния на пользователей 53
Пояснительная записка к курсовой работе на тему «Исследование математических методов построения изолиний» iconОтчет по дисциплине «методы научных исследований»
Проблема построения изолиний в настоящее время очень актуальна за счет развития геоинформационных систем
Пояснительная записка к курсовой работе на тему «Исследование математических методов построения изолиний» iconПояснительная записка к исследовательской работе «Исследование здоровья школьников»
Данная исследовательская работа проводится с целью анализа обучающимися состояния здоровья учеников школы, выяснения факторов, влияющих...
Пояснительная записка к курсовой работе на тему «Исследование математических методов построения изолиний» iconПояснительная записка
Воспитание у младших школьников интереса к математике, развитие их математических способностей невозможно без использования в учебном...
Пояснительная записка к курсовой работе на тему «Исследование математических методов построения изолиний» iconПояснительная записка к дипломному проекту (работе) На тему «Разработка общей поисковой системы для еис кафедры икт»
Разработать объединяющую поисковую систему для электронных ресурсов кафедры икт на основе поисковых механизмов каждого ресурса в...
Пояснительная записка к курсовой работе на тему «Исследование математических методов построения изолиний» iconПояснительная записка к дипломной работе На тему: «Организация конференц-связи на основе технологии VoIP»
В дипломной работе описана технология работы конфернц-связи и служебной связи на основе технологии VoIP, описана схема работы и аппаратная...
Пояснительная записка к курсовой работе на тему «Исследование математических методов построения изолиний» iconРасчетно-пояснительная записка к курсовому проекту по теории машин и механизмов на тему задание

Разместите кнопку на своём сайте:
kak.znate.ru


База данных защищена авторским правом ©kak.znate.ru 2012
обратиться к администрации
KakZnate
Главная страница