Математика




PDF просмотр
НазваниеМатематика
страница20/76
Дата конвертации25.03.2013
Размер0,81 Mb.
ТипДокументы
1   ...   16   17   18   19   20   21   22   23   ...   76

При решении уравнений, содержащих функцию |f (x)|, обычно ОДЗ разбивают на
две части M1 и M2. В первой из них выполняется неравенство f (x)
0, а во второй
f (x) < 0. Затем решают заданное уравнение отдельно в области M1, пользуясь тожде-
ством |f (x)| = f (x), а затем в области M2, где справедливо |f (x)| = −f (x). Объединяя
множества решений из M1 и M2, получают множество решений исходного уравнения.
Может случиться так, что в уравнение входят несколько функций под знаком мо-
дуля. Тогда ОДЗ разбивают на большее количество областей, в каждой из которых
все функции, входящие в заданное уравнение под знаком модуля, принимают или
только неотрицательные, или только неположительные значения. Затем в каждой
из выделенных областей решают заданное уравнение, пользуясь указанным выше
тождеством, и, объединяя множества решений, полученных в каждой области, нахо-
дят множество решений исходного уравнения.
Системы уравнений
Несколько уравнений от нескольких неизвестных, рассматриваемых совместно,
называют системой уравнений. Решением системы называется упорядоченный на-
бор значений неизвестных, обращающий все уравнения системы в тождества.
Решить систему — это значит найти все решения системы или доказать, что
система не имеет решений.
Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если
система не имеет решений, то она называется несовместной.
Система называется определенной, если она имеет единственное решение. Система
называется неопределенной, если она имеет более одного решения.
При решении систем уравнений часто используются следующие преобразования
системы, приводящие ее к системе уравнений, эквивалентной исходной.
1. Если обе части какого-либо уравнения системы домножить на одно и то же
число (не равное 0), то полученная система будет эквивалентна первоначальной.
2. Если обе части какого-либо уравнения системы, умноженные на некоторое чис-
ло, вычесть из соответствующих частей другого уравнения системы, то полученная
система будет эквивалентна первоначальной.
Одним из основных методов решения систем уравнений является метод исключе-
ния. Из одного уравнения выражается одно из неизвестных и подставляется в остав-
шиеся уравнения. Получаем систему, состоящую из меньшего числа уравнений от
меньшего числа неизвестных.
Решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными
ax + by = c
dx + ly = m
геометрически означает найти точку пересечения прямых ax + by = c и dx + ly = m.
Исследовать эту систему достаточно легко.
a
b
Если коэффициенты при неизвестных величинах не пропорциональны
=
,
d
l
то система имеет единственное решение (прямые пересекаются).
43

a
b
Если коэффициенты при x и y пропорциональны
=
, но они не пропорци-
d
l
a
c
ональны свободным членам
=
, то система не имеет решений (прямые парал-
d
m
лельны).
a
b
c
Если пропорциональны коэффициенты при x и y и свободные члены
= =
,
d
l
m
то система имеет бесконечно много решений (прямые совпадают).
4.2. Примеры
Пример 1. Решить уравнение

( x2 − 7x + 10)2 = 2x2 − 9x + 7.
Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех чисел, удовлетворяющих нера-
венству x2 − 7x + 10
0, т. е. является объединением двух промежутков x
2 и x
5.

Обозначим ОДЗ через M . На множестве M справедливо тождество ( x2 − 7x + 10)2 =
= x2 −7x+10. Поэтому исходное уравнение равносильно на множестве M уравнению
x2 − 7x + 10 = 2x2 − 9x + 7 или уравнению x2 − 2x − 3 = 0. Последнее уравнение имеет
два корня x1 = −1 и x2 = 3. Из них множеству M принадлежит только x1 = −1.
Ответ: x1 = −1.
Пример 2. Решить уравнение


x − 1 x + 2 =
(x − 1)(x + 2) + (x + 5)(x − 3).
(1)
Решение. ОДЗ уравнения (1) есть множество всех x
1. На этой области выпол-
няется тождество


x − 1 x + 2 ≡
(x − 1)(x + 2),
так что уравнение (1) на множестве x
1 равносильно уравнению
(x − 1)(x + 2) =
(x − 1)(x + 2) + (x + 5)(x − 3)
и, значит, уравнению
(x + 5)(x − 3) = 0.
Получившееся уравнение имеет два корня x2 = −5 и x1 = 3, из которых в множество
x
1 попадает только x1 = 3. Следовательно, исходное уравнение имеет только один
корень x1 = 3.
Ответ: x1 = 3.
Пример 3. Решить уравнение


x − 2 =
2x − 1.
Решение. ОДЗ уравнения состоит из чисел x, удовлетворяющих неравенствам
x − 2
0 и 2x − 1
0, т. е. имеет вид x
2. На ОДЗ обе части уравнения определены
и неотрицательны, поэтому оно равносильно на ОДЗ уравнению


( x − 2)2 = ( 2x − 1)2,
44
1   ...   16   17   18   19   20   21   22   23   ...   76

Похожие:

Математика iconУроки математики В 5 классе
Гельфман Э. Г. и др. «Математика,  Часть 1», «Математика, Часть 2» и Панчищиной В. А. и др. «Математика, 5  Наглядная геомет- рия». В ней обсуждаются вопросы преподавания математики в рамках «обо-...
Математика iconУрока: «Математика в мире животных»
«самые-самые». А так же повторим правила и закрепим свои знания по теме: «Арифметические действия с десятичными дробями». Эпиграфом...
Математика iconРабочая программа по учебному курсу «Математика» 5-6 класс
«Математика» для 5 и 6 класса образовательных учреждений /Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбург – М. Мнемозина,...
Математика iconРабочая программа курса математика
М. И. Башмаков, М. Г. Нефёдова. Математика 3 класс. Учебник. В 2 ч. — М., Аст, Астрель
Математика iconС. Б. Суворова, Л. В. Кузнецова
Пособие предназначено для учителей, ведущих преподавание по учебным комплектам «Математика, 5» и «Математика, 6» под
Математика iconПрограммы общеобразовательных учреждений Математика. 5 6 классы Составитель Т. А. Бурмистрова
Умк по предмету «Математика. 6 класс». (Навигатор для учителя), учитель Ткаченко Т. И
Математика iconМатематика 2 физика 3 химия 5 прикладные науки 6 техника 6
Аляев, Ю. А. Дискретная математика и мате- а603 матическая логика: учебник для вузов. М.: Фина
Математика iconКалендарно-тематическое планирование математика 5 класс
Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев Математика 5-11 кл, издательство «Дрофа» 2001 Сост. Г. М. Кузнецова, Н....
Математика iconРусский язык математика история этика природоведение география естествознание изобразительная деятельность
Математика. 5—9 классы (М. Н. Перова — научный редактор программы; Б. Б. Горскин, А. П. Антропов, М. Б. Ульянцева)
Математика iconМатематика дома Математика новый подход через
Извини, Нолик, я не смогу тебя хорошо угостить. У меня в домике все по одному: одна чашка чая и один пирожок
Разместите кнопку на своём сайте:
kak.znate.ru


База данных защищена авторским правом ©kak.znate.ru 2012
обратиться к администрации
KakZnate
Главная страница