Математика




PDF просмотр
НазваниеМатематика
страница16/76
Дата конвертации25.03.2013
Размер0.81 Mb.
ТипДокументы
1   ...   12   13   14   15   16   17   18   19   ...   76

Уравнение вида
x2 + px + q = 0
(1)
называется приведенным квадратным уравнением. Его дискриминант D = p2 − 4q.
Для уравнений вида ax2 + 2bx + c = 0 формула нахождения корней упрощается

−b ±
b2 − ac
x1,2 =
.
a
Теорема Виета (прямая) утверждает: если у квадратного уравнения ax2+bx+c = 0
есть корни x1 и x2, то выполняются соотношения

b
 x
,

1 + x2 = − a
c
 x
.

1x2 = a
Обратная теорема утверждает: если для некоторых постоянных a, b, c суще-
ствуют числа x1 и x2, удовлетворяющие соотношениям

b
 x
,

1 + x2 = − a
c
 x
,

1x2 = a
то эти числа x1 и x2 являются корнями уравнения ax2 + bx + c = 0.
Для приведенного квадратного уравнения вида (1) теорема Виета упрощается
x1 + x2 = −p,
x1x2 = q.
При решении задач, связанных с теоремой Виета, полезно использовать соотно-
шения
1
1
x
+
= 1 + x2 ;
x1
x2
x1x2
x2 + x2 = (x
1
2
1 + x2)2 − 2x1x2;
x1
x
x2 + x2
(x
+ 2 = 1
2 =
1 + x2)2 − 2x1x2 ;
x2
x1
x1x2
x1x2
x3 + x3 = (x
− x
) = (x
1
2
1 + x2)(x2
1
1x2 + x2
2
1 + x2)((x1 + x2)2 − 3x1x2).
Рациональные уравнения
Рациональным алгебраическим уравнением называется уравнение вида
P (x) =0,
Q(x)
где P (x) и Q(x) — некоторые многочлены.
33

Множество допустимых значений рационального уравнения определяется усло-
вием Q(x) = 0.
Метод решения рационального уравнения заключается в следующем. Решаем
уравнение
P (x) = 0,
корни которого обозначим через x1, . . . , xm. Подставляем эти корни в знаменатель
Q(x) и выбираем те из них, для которых знаменатель не равен 0.
Обсудим способы нахождения корней многочленов. Есть формулы для нахожде-
ния корней уравнений третьей и четвертой степени, но они настолько громоздки, что
их не применяют. Для уравнений степени больше 4 таких (универсальных) формул
нет.
Метод замены переменной. Если многочлен P (x) является многочленом P1 от
переменной y = R(x), то делаем замену y = R(x). Решаем уравнение меньшей степени
P1(y) = 0, получаем какие-то значения y1, . . . , ys, а затем решаем уравнения R(x) = yi,
i = 1, . . . , s.
Разложение многочлена на множители. Если мы каким-то образом разложили
многочлен P (x) на несколько множителей P (x) = P1(x) · · · Pl(x), то решение уравне-
ния P (x) = 0 сводится к решению более простых уравнений Pi(x) = 0.
В общем случае нет универсального способа разложения многочлена на множи-
тели. Известна лишь теорема Безу, которая утверждает следующее:
Если число c является корнем многочлена P (x), то многочлен P (x) делится на
(x − c), т. е.
P (x) = (x − c)P1(x),
где многочлен P1(x) можно получить из P (x) делением "уголком" на x − c.
Таким образом, если один корень многочлена P (x) известен, то задача нахож-
дения остальных корней облегчается, поскольку нужно находить корни многочлена
P1(x) меньшей степени.
Для многочлена с целыми коэффициентами имеет место следующее свойство. m
Если многочлен P (x) с целыми коэффициентами имеет рациональный корень n
(и эта дробь несократима), то m является делителем свободного члена многочлена
P , а n — делителем коэффициента при старшей степени x.
Есть очень много частных методов нахождения корней многочленов.
3.2. Примеры
Пример 1. При каких значениях параметра a уравнение ax2 −6x+9 = 0 имеет одно
решение?
Решение. При a = 0 это уравнение становится линейным и имеет один корень x =
3/2.
При a = 0 найдем дискриминант D = 36 − 36a и приравняем его к нулю.
Ответ: a = 1, a = 0.
Пример 2. При каких значениях a парабола y = x2 − ax + 1 не пересекает ось OX?
34

Решение. На оси OX имеем y = 0, поэтому задача сводится к следующей: при каких
значениях a уравнение x2 − ax + 1 = 0 не имеет действительных решений? Найдем
дискриминант D = a2 − 4 и решим неравенство a2 − 4 < 0.
Ответ: −2 < a < 2.
Пример 3. Пусть x1, x2 — корни уравнения x2 + x − 7 = 0. Не решая уравнения,
найти x2 + x2.
1
2
Решение. По теореме Виета x1 + x2 = −1, а x1x2 = −7, тогда x2 + x2 = (x
1
2
1 + x2)2 −
2x1x2 = 1 + 14 = 15.
Ответ: 15.
Пример 4. Решить уравнение
1
1
=
.
x2 − 3x + 2
2x2 − 3x + 1
Решение. ОДЗ уравнения состоит из всех чисел, отличных от корней уравнений
x2 − 3x + 2 = 0 и 2x2 − 3x + 1 = 0, т. е. от чисел 1, 2, 1 .
2
На этой области обе функции y = x2 − 3x + 2 = 0 и y = 2x2 − 3x + 1 = 0 определены
и отличны от нуля. Поэтому, умножив уравнение на произведение знаменателей,
получим уравнение
x2 − 3x + 2 = 2x2 − 3x + 1,
равносильное исходному уравнению на его ОДЗ. После приведения подобных членов
получаем уравнение x2−1 = 0, имеющее два корня x2 = 1 и x1 = −1, из которых только
один x1 = −1 лежит в ОДЗ исходного уравнения.
Ответ: x1 = −1.
Пример 5. Решить уравнение
(x2 − 2x)2 − (x − 1)2 + 1 = 0.
Решение. Обозначим y = (x − 1)2, тогда исходное уравнение примет вид
(y − 1)2 − y + 1 = 0.
Его решениями являются числа 1, 2. Таким образом получаем уравнения
(x − 1)2 = 1,
(x − 1)2 = 2.

Решая их получаем корни x1 = 2, x2 = 0, x3,4 = 1 ± 2.√
Ответ: Корни уравнения x1 = 2, x2 = 0, x3,4 = 1 ± 2.
Пример 6. Решить уравнение
3x3 − 4x2 + 5x − 18 = 0.
Решение. Множеством чисел вида m/n, где m — делитель −18, а n делитель 3,
являются числа {±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±1/3, ±2/3}. Подставляя эти числа в исходное
уравнение, получаем, что корень равен 2.
35
1   ...   12   13   14   15   16   17   18   19   ...   76

Похожие:

Математика iconУроки математики В 5 классе
Гельфман Э. Г. и др. «Математика,  Часть 1», «Математика, Часть 2» и Панчищиной В. А. и др. «Математика, 5  Наглядная геомет- рия». В ней обсуждаются вопросы преподавания математики в рамках «обо-...
Математика iconУрока: «Математика в мире животных»
«самые-самые». А так же повторим правила и закрепим свои знания по теме: «Арифметические действия с десятичными дробями». Эпиграфом...
Математика iconРабочая программа по учебному курсу «Математика» 5-6 класс
«Математика» для 5 и 6 класса образовательных учреждений /Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбург – М. Мнемозина,...
Математика iconРабочая программа курса математика
М. И. Башмаков, М. Г. Нефёдова. Математика 3 класс. Учебник. В 2 ч. — М., Аст, Астрель
Математика iconС. Б. Суворова, Л. В. Кузнецова
Пособие предназначено для учителей, ведущих преподавание по учебным комплектам «Математика, 5» и «Математика, 6» под
Математика iconПрограммы общеобразовательных учреждений Математика. 5 6 классы Составитель Т. А. Бурмистрова
Умк по предмету «Математика. 6 класс». (Навигатор для учителя), учитель Ткаченко Т. И
Математика iconМатематика 2 физика 3 химия 5 прикладные науки 6 техника 6
Аляев, Ю. А. Дискретная математика и мате- а603 матическая логика: учебник для вузов. М.: Фина
Математика iconКалендарно-тематическое планирование математика 5 класс
Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев Математика 5-11 кл, издательство «Дрофа» 2001 Сост. Г. М. Кузнецова, Н....
Математика iconРусский язык математика история этика природоведение география естествознание изобразительная деятельность
Математика. 5—9 классы (М. Н. Перова — научный редактор программы; Б. Б. Горскин, А. П. Антропов, М. Б. Ульянцева)
Математика iconМатематика дома Математика новый подход через
Извини, Нолик, я не смогу тебя хорошо угостить. У меня в домике все по одному: одна чашка чая и один пирожок
Разместите кнопку на своём сайте:
kak.znate.ru


База данных защищена авторским правом ©kak.znate.ru 2012
обратиться к администрации
KakZnate
Главная страница