Математика




PDF просмотр
НазваниеМатематика
страница15/76
Дата конвертации25.03.2013
Размер0,81 Mb.
ТипДокументы
1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   ...   76

Если при решении использовать только преобразования, приводящие к урав-
нению-следствию, то нахождение ОДЗ также не обязательно. Но при этом нужно
выполнить проверку найденных корней. При переходе к следствию не происходит
потери корней, но могут появиться посторонние корни.
Полезно знать, что:
1) при возведении в натуральную степень обеих частей уравнения можно приоб-
рести посторонние корни (при этом не происходит потери корней);
2) при освобождении уравнения от знаменателя можно приобрести посторонние
корни (потери корней не происходит);
3) замена в уравнении выражения ϕ(x) + (−ϕ(x)) нулем (приведении подобных
членов) может привести к появлению посторонних корней (потери корней не проис-
ходит).
Пусть даны два уравнения: f1(x) = g1(x) и f2(x) = g2(x). Если любой корень перво-
го уравнения является корнем второго уравнения, а любой корень второго – корнем
первого, то такие два уравнения называются равносильными (или эквивалентными).
Утверждения о равносильности уравнений
1. Уравнения f (x) = g(x) и f (x) − g(x) = 0 равносильны.
2. Уравнения f (x) = g(x) и f (x) + α = g(x) + α равносильны.
3. Уравнения f (x) = g(x) и αf (x) = αg(x) равносильны для любого числа α = 0.
4. Если функции y = ϕ(x) и y = g(x) тождественно равны, то уравнения f (x) = g(x)
и f (x) = ϕ(x) равносильны.
Пусть даны уравнения f1(x) = g1(x) и f2(x) = g2(x) и некоторое множество M .
Если любой корень первого уравнения, принадлежащий множеству M , удовле-
творяет второму уравнению, а любой корень второго уравнения, принадлежащий M ,
удовлетворяет первому, то эти уравнения называются равносильными на множестве
M .
Приведенные выше утверждения о равносильности уравнений справедливы и на
любом множестве. Приведем теперь другие утверждения о равносильности уравне-
ний на множестве.
Утверждения о равносильности уравнений на множестве
1. Пусть n — натуральное число и на некотором множестве M функции y = f (x) и
y = g(x) неотрицательны. Тогда на этом множестве M уравнения f (x) = g(x) и f n(x) =
gn(x) равносильны.
2. Пусть функция y = ϕ(x) определена и не обращается в нуль ни в одной точке
множества M . Тогда на этом множестве M уравнения f (x) = g(x) и f (x)ϕ(x) =
= g(x)ϕ(x) равносильны.
Отметим, что часто множество M совпадает либо с ОДЗ уравнения f (x) = g(x),
либо с множеством всех действительных чисел.
Сокращение уравнения на общий множитель
Уравнения вида ϕ(x)·f (x) = ϕ(x)·g(x) нельзя делить на ϕ(x), это может привести
к потере корней. Их надо решать следующим образом:
1) найти ОДЗ уравнения;
31

2) переписать уравнение в равносильном виде:
ϕ(x) · [f (x) − g(x)] = 0;
3) перейти от этого уравнения к равносильной ему на ОДЗ исходного уравнения
совокупности уравнений
ϕ(x) = 0 и f (x) − g(x) = 0;
4) решить эту совокупность уравнений на ОДЗ исходного уравнения; множество
всех корней данной совокупности, каждый из которых принадлежит ОДЗ исходного
уравнения, и есть множество корней исходного уравнения.
Линейные уравнения
Уравнение вида ax+b = 0, где a и b – некоторые постоянные, называется линейным
уравнением.
b
Если a = 0, то линейное уравнение имеет единственный корень x = − .
a
Если a = 0; b = 0, то линейное уравнение решений не имеет.
Если a = 0 и b = 0, то, переписав исходное уравнение в виде ax = −b, легко видеть,
что любое x является решением линейного уравнения.
Квадратные уравнения
Уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a, b, c — некоторые числа (a = 0); x — пере-
менная, называется квадратным уравнением. Для решения квадратного уравнения
следует вычислить дискриминант D = b2 − 4ac.
Если D = 0, то квадратное уравнение имеет единственное решение
b
x = −
.
2a
Часто в этом случае говорят, что уравнение имеет два равных корня (или один корень
кратности 2), поскольку в этом случае
b
2
ax2 + bx + c = a
x +
.
2a
Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два (различных) корня


−b +
D
−b −
D
x1 =
;
x2 =
.
2a
2a
Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет (действительных) корней.
Если один из коэффициентов b или c равен нулю, то квадратное уравнение можно
решать, не вычисляя дискриминанта:
c
1) b = 0; c = 0;
< 0;
2) b = 0; c = 0;
a
c
b
x
x
.
1,2 = ±
− ;
1 = 0; x2 = −
a
a
32
1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   ...   76

Похожие:

Математика iconУроки математики В 5 классе
Гельфман Э. Г. и др. «Математика,  Часть 1», «Математика, Часть 2» и Панчищиной В. А. и др. «Математика, 5  Наглядная геомет- рия». В ней обсуждаются вопросы преподавания математики в рамках «обо-...

Математика iconУрока: «Математика в мире животных»
«самые-самые». А так же повторим правила и закрепим свои знания по теме: «Арифметические действия с десятичными дробями». Эпиграфом...

Математика iconРабочая программа по учебному курсу «Математика» 5-6 класс
«Математика» для 5 и 6 класса образовательных учреждений /Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбург – М. Мнемозина,...

Математика iconРабочая программа курса математика
М. И. Башмаков, М. Г. Нефёдова. Математика 3 класс. Учебник. В 2 ч. — М., Аст, Астрель

Математика iconС. Б. Суворова, Л. В. Кузнецова
Пособие предназначено для учителей, ведущих преподавание по учебным комплектам «Математика, 5» и «Математика, 6» под

Математика iconПрограммы общеобразовательных учреждений Математика. 5 6 классы Составитель Т. А. Бурмистрова
Умк по предмету «Математика. 6 класс». (Навигатор для учителя), учитель Ткаченко Т. И

Математика iconМатематика 2 физика 3 химия 5 прикладные науки 6 техника 6
Аляев, Ю. А. Дискретная математика и мате- а603 матическая логика: учебник для вузов. М.: Фина

Математика iconКалендарно-тематическое планирование математика 5 класс
Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев Математика 5-11 кл, издательство «Дрофа» 2001 Сост. Г. М. Кузнецова, Н....

Математика iconРусский язык математика история этика природоведение география естествознание изобразительная деятельность
Математика. 5—9 классы (М. Н. Перова — научный редактор программы; Б. Б. Горскин, А. П. Антропов, М. Б. Ульянцева)

Математика iconМатематика дома Математика новый подход через
Извини, Нолик, я не смогу тебя хорошо угостить. У меня в домике все по одному: одна чашка чая и один пирожок

Разместите кнопку на своём сайте:
kak.znate.ru


База данных защищена авторским правом ©kak.znate.ru 2012
обратиться к администрации
KakZnate
Главная страница